[luogu P1600][NOIP 2016]天天爱跑步

树上差分+线段树合并

题目大意

小C同学认为跑步非常有趣,于是决定制作一款叫做《天天爱跑步》的游戏。《天天爱跑步》是一个养成类游戏,需要玩家每天按时上线,完成打卡任务。

这个游戏的地图可以看作一棵包含$n$个结点和$n-1$条边的树,每条边连接两个结点,且任意两个结点存在一条路径互相可达。树上结点编号为从$1$到$n$的连续正整数。

现在有$m$个玩家,第$i$个玩家的起点为$S_i$,终点为$T_i$。每天打卡任务开始时,所有玩家在第$0$秒同时从自己的起点出发,以每秒跑一条边的速度,不间断地沿着最短路径向着自己的终点跑去,跑到终点后该玩家就算完成了打卡任务。(由于地图是一棵树,所以每个人的路径是唯一的)

小C想知道游戏的活跃度,所以在每个结点上都放置了一个观察员。在结点$j$的观察员会选择在第$W_j$秒观察玩家,一个玩家能被这个观察员观察到当且仅当该玩家在第$W_j$秒也正好到达了结点$j$。小C想知道每个观察员会观察到多少人?

注意:我们认为一个玩家到达自己的终点后该玩家就会结束游戏,他不能等待一段时间后再被观察员观察到。即对于把结点$j$作为终点的玩家:若他在第$W_j$秒前到达终点,则在结点$j$的观察员不能观察到该玩家;若他正好在第$W_j$秒到达终点,则在结点$j$的观察员可以观察到这个玩家。
其中,$n,m\le 3\times 10^5$

题解:

每一个结点都有观察者…
这道题主要的难点在于推贡献…我做这题的时候将人的行走看做了修改,一直拘泥于如何快速维护树上路径加等差数列…这样显然不太珂做…
我们考虑什么样的路径会对一个点$w$的观察者有贡献:

  • 路径的两个端点(记为$u,v$)至少有一个在$w$的子树内
  • $\text{lca}(u,v)$不在w的子树内

  • 对于u在w子树内的情况:
    $$\text{depth}(u)-\text{depth}(w)=\mathcal{W}$$

  • 对于v在w子树内的情况:
    $$\text{depth}(u)-2*\text{depth}(\text{lca}(u,v))+\text{depth}(w)=\mathcal{W}$$
    所以,我们有三个限制条件…不太好做…
    对于u,v限制条件不同的情况,我们显然可以分类讨论,这不是啥问题..
    这里最麻烦的一点是$\text{lca}(u,v)$不在w的子树内..似乎不好维护呢~

但是我们还有一个有力武器!树上差分!
我们把$u\rightarrow v$的路径拆分成
$u->lca lca->v$,进一步差分成$u\rightarrow root ,v\rightarrow root,root\rightarrow lca,root\rightarrow fa[lca]$,其中前两条路径权值为+1,后两条路径权值为-1.这样,我们就摆脱了lca的限制,一个节点的整个子树都可以对它产生贡献,就可以直接树上统计了!

现在,每一个节点的答案由它的子树得到,每个子树相互独立并且可合并…线段树合并!再分类讨论u和v的贡献,就做完啦!

代码

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>

using std::vector;

const int maxn=3e5+100;

vector<int> G[maxn];
int count[maxn],w[maxn];
int s[maxn],t[maxn];
int depth[maxn],fa[maxn],siz[maxn];
int top[maxn],son[maxn];
int ans[maxn],tag[maxn],tot;
int root[maxn];

struct Node
{
int ls,rs,siz;
}T[maxn*50];

template<class T>inline void swap(T& a,T& b){a^=b^=a^=b;}

inline int Newnode(){T[++tot].ls=0;T[tot].rs=0;T[tot].siz=0;return tot;}

inline int insert(int pos,int rt,int l,int r,int val=1)
{
if (!rt) rt=Newnode();
T[rt].siz+=val;
if (l==r) return rt;
int mid=(l+r)>>1;
if (pos<=mid) T[rt].ls=insert(pos,T[rt].ls,l,mid,val);
else T[rt].rs=insert(pos,T[rt].rs,mid+1,r,val);
return rt;
}

inline int merge(int x,int y)
{
if (!x || !y) return x+y;
T[x].siz+=T[y].siz;
T[x].ls=merge(T[x].ls,T[y].ls);
T[x].rs=merge(T[x].rs,T[y].rs);
return x;
}

inline int query(int pos,int l,int r,int rt)
{
if (!rt) return 0;
if (l==r) return T[rt].siz;
int mid=(l+r)>>1;
if (pos<=mid) return query(pos,l,mid,T[rt].ls);
else return query(pos,mid+1,r,T[rt].rs);
}

inline void dfs(int u,int ff,int dep)
{
depth[u]=dep;
fa[u]=ff;siz[u]=1;
int maxs=-1;
for (auto v:G[u])
{
if (v==ff) continue;
dfs(v,u,dep+1);
siz[u]+=siz[v];
if (siz[v]>=maxs) maxs=siz[v],son[u]=v;
}
}

inline void dfs(int u,int topf)
{
top[u]=topf;
if (!son[u]) return;
dfs(son[u],topf);
for (auto v:G[u])
if (v!=fa[u] && v!=son[u]) dfs(v,v);
}

inline int LCA(int u,int v)
{
while (top[u]!=top[v])
{
if (depth[top[u]]<depth[top[v]]) swap(u,v);
u=fa[top[u]];
}
return depth[u]>depth[v]?v:u;
}

inline void dfs_cal1(int u,int n)
{
for (auto v:G[u])
if (v!=fa[u]) dfs_cal1(v,n),root[u]=merge(root[u],root[v]);
ans[u]+=query(depth[u]+w[u],1,n,root[u]);
}

inline void dfs_cal2(int u,int n)
{
for (auto v:G[u])
if (v!=fa[u]) dfs_cal2(v,n),root[u]=merge(root[u],root[v]);
ans[u]+=query(w[u]-depth[u],-n*2,n,root[u]);
}

int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1,u,v;i<n;++i)
scanf("%d%d",&u,&v),G[u].push_back(v),G[v].push_back(u);
for (int i=1;i<=n;++i)
scanf("%d",w+i);
for (int i=1;i<=m;++i)
scanf("%d%d",s+i,t+i);
dfs(1,0,1);dfs(1,1);
static int lca[maxn];
for (int i=1,u,v;i<=m;++i)
{
u=s[i];v=t[i];
lca[i]=LCA(u,v);
root[u]=insert(depth[u],root[u],1,n<<1);
root[fa[lca[i]]]=insert(depth[u],root[fa[lca[i]]],1,n<<1,-1);
}
dfs_cal1(1,n<<1);
tot=0;memset(root,0,sizeof(root));
for (int i=1,u,v;i<=m;++i)
{
u=s[i],v=t[i];
root[v]=insert(depth[u]-2*depth[lca[i]],root[v],-2*n,n);
root[lca[i]]=insert(depth[u]-2*depth[lca[i]],root[lca[i]],-2*n,n,-1);
}
dfs_cal2(1,n);
for (int i=1;i<=n;++i)
printf("%d ",ans[i]);
}